Tugas Matematika 2

Tugas Matematika 2

Oleh

Diah Ayu Retnaningsih                         (12144600140/A4-12)

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2013

Bilangan dan Angka

a.          Bilangan

      Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

      Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukkan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluaran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika

      Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua entitas yang sama. Selain itu terdapat pula konsep nomor yang berkaitan. Secara kaku, angka, bilangan, dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda.

b.         Angka

     Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan angka Hindu-Arab “5″ (sistem angka berbasis 10), “101″ (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi ‘V’. Lambang “5″, “1″, “0″, dan “V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka.

     Nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata ‘nomor 3′ menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, …, dst. Kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian “urutan”.

      Menurut sejarah ketika orang melakukan kegiatan membilang atau mencacah kebingungan untuk memberikan lambang bilangannya. tetapi kemudian dibuatlah sistem numerasi yaitu sistem yang terdiri dari numerial (lambang bilangan/angka) dan number (bilangan). Sistem numerasi adalah aturan untuk menyatakan menuliskan bilangan dengan menggunakan sejumlah lambang bilangan.

      Bilangan sendiri itu adalah ide abstrak yang tidak didefinisikan. Setiap Bilangan mempunyai banyak lambang bilangan. Satu lambang bilangan menggambarkan satu bilangan. Setiap bilangan mempunyai banyak nama. Misal bilangan 125 mempunyai nama bilangan seratus dua puluh lima. terdiri dari lambang bilangan 1, 2, dan 5. Angka/digit terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lambang bilangan ini disebut angka hindu arab yang digunakan sampai sekarang

Sebelum angka hindu arab ditemukan, terdapat lambang bilangan mesir kuno yang disebut heroglip, lambang bilangan romawi, lambang bilangan babilon, lambang bilangan maya.

Macam-macam Bilangan

a.      Bilangan Asli

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).

Contoh :{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

b.      Bilangan Prima 
Bilangan prima adalah bilangan-bilangan  sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan bilangan prima.
Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,….

c.       Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.

Contoh :{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

d.      Bilangan Bulat 
Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif.
Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….

e.       Bilangan Negatif

Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

f.       Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat danb merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.

Contoh :{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

g.      Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

π         =          3,141592653358…….. 

√2        =          1,4142135623……..

e          =          2,71828281284590…….

h.      Bilangan real

Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”.Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

i.        Bilangan imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i² = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :   x² + 1 = 0
atau secara ekuivalen 
   x² = -1
atau juga sering dituliskan sebagai
   x = √-1

j.        Bilangan komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh :{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

k.      Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan realdan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Contoh :{3 + 2i}

Soal

1.      Mengapa suatu bilangan bisa diopersikan dan tidak dapat dioperasikan, beri contoh dan jelaskan?

2.      Apa yang dimaksud perkalian dan pembagian? Jelaskan dan beri contohnya!

Jawab :

1.      a. Bilangan dapat dioperasikan jika:

-Memiliki bentuk atau variable yang sama untuk operasi penambahan dan pengurangan.

 Contohnya :

2x+2x = 4x

6x-3x = 3x

4+5 = 9

6 -2 = 4

3√2-√2 = 2√2

-          Memiliki betuk/ variabel yang sama dan berbeda untuk opersi perkalian

Contohnya :

2a + 2b =4ab

2a x 3 = 6a

3a x 3a = 9a²

4√2 x 3√2 = 24

c.       Bilangan tidak dapat dioperasikan jika :

-Memiliki bentuk variabel yang berbeda untuk operasi penambahan dan pengurangan.

Contoh :

2x-2y = 2x-2y

3x-2 =3x-2

4+2√2 = 4+2√2

2. a. Perkalian

Perkalian merupakan operasi matematika yang mengalikan suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi perkalian adalah tanda silang ( x ).

Contoh:

2 x 5 = 10

3x3 = 9

b. Pembagian

Pembagian merupakan operasi matematika yang membagi suatu angka dengan angka lainnya sehingga menghasilkan nilai tertentu yang pasti. Simbol untuk operasi pembagian adalah tanda titik dua ( : ) atau ( ÷ ). Selain tanda titik dua, seringkali operasi pembagian ini menggunakan simbol garis miring ( / ) atau garis tengah ( _).

Contoh:

100 : 10 = 10

100 ÷ 10 = 10

100 / 10 = 10

Operasi Perkalian

Perkalian adalah penjumlahan berulang. (Van De Welle, 2003: 35) maksudnya adalah 3 x 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau  ditulis 3 x 5 =5 + 5 + 5

Perkalian pada bilangan asli memiliki tiga sifat, yaitu komutatif, asosiatif dan distribusi penjumlahan. Jika a,b,nsuatu bilangan maka akan berlaku:

1.      a x b =b x a                                      (komutatif)

2.      (a x b) x c =a x (b x c)                      (asosiatif)

3.      a x 1 = 1 x a = a                              (identitas perkalian)

4.      n x (a + b) =(n x a) + (n x b)           (distribusi penjumlahan)

Operasi Pembagian

Pembagian didefinisikan sebagai berikut: a : b = c artinya adalah ada sekumpulan benda sebanyak a dibagi rata (sama banyak) dalam b kelompok. Maka cara membaginya dilakukan dengan pengambilan berulang sebanyak b sampai habis dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke semua kelompok. Banyaknya pengambilan ditunjukkan dengan hasil yang didapat oleh masing-masing kelompok yaitu c.  Hasil bagi (c) adalah banyaknya satuan pengambilan b dalam setiap kali mengambil untuk dibagi rata. Jika banyaknya anggota yang dimuat oleh masing-masing kelompok adalah c, maka banyaknya pengambilan b satuan sampai habis pada kumpulan benda sebanyak a adalah c kali. Mengapa? Sebab untuk setiap kali pengambilan sebanyak b anggota dari kumpulan benda beranggotakan a selalu dibagi rata pada masing-masing kelompok sebanyak b. Sehingga jika hasil pada masing-masing anggota adalah c, maka dapat dipastikan bahwa banyaknya satuan pengambilan b anggota sampai habis dari sekumpulan benda sebanyak aitu adalah c kali.

Dalam membelajarkan pembagian dasar, peserta didik diberikan pengalaman membagi, misalnya dengan membagikan sejumlah barang kepada beberapa temannya. Dengan memberikan pengalaman, peserta didik akan selalu mengingat konsep pembagian tersebut di kepalanya. Selanjutnya dengan memberi banyak latihan, peserta didik diajak untuk mengamati hubungan antara bilangan yang dibagi, pembagi, dan hasil baginya. Setelah dicermati ternyata bilangan yang dibagi = pembagi x hasil bagi.

Contoh:

1.        36 : 4 = 9 artinya adalah ada 9 kali pengambilan empatan sampai habis pada bilangan 36, dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke dalam 4 kelompok,

2.        30 : 6 = 5 artinya adalah ada 5 kali pengambilan enaman sampai habis pada bilangan 30, dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke dalam 6 kelompok, dan lain-lain.